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1 简述 GIS 距离空间和希尔伯特空间

1.1 GIS 距离空间

定义

设 X 为任一非空集合，"d: X · X → R" 为一函数，使得对于 X 的任何点 x,y,z 满足下列性质：	M1：d(x， y)≥0	M2：d(x， y)=0  (x=y)	M3：d(x， y)=d(y， x) 	M4：d(x， y)≤d(x， z)+ d(z， y)

则 (X,d) 称为以d为距离的 距离空间，若x， y∈X，则实数 d(x， y) 称为从点x到点y的距离。

• M3 称为对称性，M4 称为三角不等式

1.2 GIS 希尔伯特空间

以 GIS 距离空间理论为基础，对于可数无限维实数空间 R^X₀ ，定义距离函数 d 为：

• 对空间中的任意两点 p(x1, x2,…) 和 q(y1, y2,…)，有$$d(p,q)=\sqrt{\sum _{i=1}^{\infty }(x_i-y_i{)}^2}$$ 注：${\sum }_{i=1}^{\infty }{x}_i$ 和 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{y}_i$ 均是收敛的，可得 d(p, q) 一定收敛，那么 (R^X₀ ,d ) 满足距离空间定义。

$(R^{X_0},d)$ 就称为 希尔伯特（Hilbert）空间。

*1.3 GIS 中常用的距离及其与距离空间的关系

• 最短线距离：沿地球球面从一个城市到另一个城市的最短距离。
• 球面曼哈顿距离：地球上两个城市经度差与纬度差之和。
• 旅行时间：城市间旅行（假定沿公路线旅行）所需的最短时间。

考察上述距离定义，M1 和 M2 显然为这三种距离所满足。最短线距离和曼哈顿距离亦满足距离空间的对称性。但旅行时间则不一定，若考虑路面状况、地理特性（坡度等）、交通规则（单行线）等，则对称性不能满足。三角不等式性质为最短线距离所满足。对于旅行时间，三角不等式也不一定满足。

图 3-1 所示，城市 a 和 b 及 b 和 c 间有高速公路，而 a 与 c 之间只有低等级公路，则就旅行时间而言，T(a, b)+T(b, c)≥T(a, c)不一定成立。

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图 3-2 所示是地震后的救灾问题。救灾中心 M 需要在最短时间内赶到灾区 A、B、C、D、E，此时通常意义下的距离已不重要，对称性、三角不等式难以满足，时间是最重要的。

2 简述什么是欧式空间

定义

设 d 为定义在集合 Rⁿ上的距离函数 d: Rⁿ→R，对于 Rⁿ 中的任意元素 x, y，x=(x₁, x₂, …, x_n)，y=(y₁, y₂, …, y_n)，有 $$d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$$ 则 Eⁿ=(Rⁿ, d) 称为 n 维欧氏空间，Rⁿ 的每个元素称为空间 Eⁿ 的点，d 称为 Rⁿ上的欧氏距离。当 n=2 时，E² 称为欧氏平面。

1. 什么是地图投影，它与 GIS 的关系如何？
2. 地图投影的变形包括哪些？
3. 地图投影的分类方法有几种？它们是如何进行分类的？
4. 我国地理信息系统中为什么要采用高斯-克吕格投影和正轴等角圆锥投影？
5. 说明高斯-克吕格投影的变形性质、变形分布规律及其用途。
6. 高斯-克吕格投影中为什么要采取分带投影的方法？
7. 某图幅的图号为 I50D002011，请计算该图幅所在的高斯投影的投影带号及投影带的中
   央经线。
8. 什么是正轴等角圆锥投影？我国新编百万分之一地图为何要采用双标准纬线正等角
   圆锥投影？
9. 实现地图投影转换的基本思路是什么？

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